熱物性擬合中的敏感度分析

一、熱物性敏感度介紹

熱物性敏感度分析（Sensitivity Analysis）用于確定系統(tǒng)或模型對輸入?yún)?shù)或待擬合參數(shù)變化的敏感程度。熱物性敏感度分析主要作用包括識別關(guān)鍵因素、提高模型可靠性、不確定性評估、模型簡化等。以時域熱反射（TDTR）系統(tǒng)為例，影響敏感度的主要因素包括激光功率、激光光斑尺寸、調(diào)制頻率以及樣品的各項熱物性參數(shù)。敏感度一般推薦是在樣品制備之前進行，根據(jù)熱物性敏感度分析的結(jié)果來設(shè)計樣品和選擇實驗參數(shù)有利于擬合模型得出更加可靠的結(jié)果。

除此之外，熱物性敏感度分析還可以被用作模型簡化：通過識別不重要的變量，熱物性敏感度分析可以幫助簡化模型，減少計算復(fù)雜度和成本，同時保持模型的準確性。

二、熱物性敏感度的公式及相關(guān)參數(shù)

下面我們以時域熱反射（Time-Domain Thermoreflectance, TDTR）系統(tǒng)的敏感度分析為例，來理解敏感度分析的具體情況，敏感度的定義為：

其中 x 是模型參數(shù)，Y 為鎖相放大器信號， Sx 為信號對該模型參數(shù)x的敏感度，之所以使用對數(shù)形式是因為根據(jù)對數(shù)函數(shù)求導(dǎo)規(guī)則

這樣就可以消除信號自身強度對敏感度的影響，使得各個參數(shù)的敏感度可以進行橫向比較。

在TDTR，F(xiàn)DTR，SDTR中，可以用來擬合的鎖相放大器信號（Y信號）包括信號的幅值，相位、相位差、Vin、Vout、或整個復(fù)數(shù)信號Z。

時域熱反射技術(shù)（TDTR）中常用幅值信號、相位、有時也會使用復(fù)數(shù)信號隨延遲量的變化曲線進行擬合。頻域熱反射技術(shù)（Frequency-Domain Thermoreflectance, FDTR）一般使用相位信號隨頻率的變化曲線進行擬合。傳統(tǒng)的空間域熱反射技術(shù)（Spatial-Domain Thermoreflectance, FDTR）使用相位信號隨空間掃描位置坐標的變化曲線進行擬合，但這種方法存在相位差校準引入的誤差。昊遠精測公司W(wǎng)ildFire-ONE 熱導(dǎo)率測量儀改進了傳統(tǒng)的空間域熱反射技術(shù)（SDTR），采用掃描位置與雙光斑重合位置的相位差隨掃描位置坐標的變化曲線做為擬合信號，同時使用了振幅信號隨位置坐標的變化曲線作為等效光斑尺寸的擬合信號。同時解決了相位矯正和光斑輸入的誤差，極大的提高了SDTR技術(shù)的準確性和可靠性。

時域熱反射技術(shù)（TDTR）中的參數(shù)包括，飛秒脈沖激光的重復(fù)頻率、等效光斑直徑、調(diào)制頻率、各層厚度、各層各向熱導(dǎo)率、各層熱容、各層界面熱阻（熱導(dǎo)）等。其他系統(tǒng)的基本類似。

三、熱物性分析軟件Thermo-Mind敏感度分析功能的用法

昊遠精測熱物性分析系統(tǒng)平臺軟件Thermo-Mind提供方便快捷的敏感度分析功能，可以極大的助力實驗進程高效的進行以及得到優(yōu)質(zhì)的實驗數(shù)據(jù)。下面我們以TDTR系統(tǒng)為例介紹一下熱物性分析軟件Thermo-Mind的敏感度分析的一些使用場景：

1，在制樣之前，客戶首先要大致規(guī)劃樣品的結(jié)構(gòu)，并估算樣品的參數(shù)的數(shù)值。在這個階段，我們就推薦客戶對各參數(shù)進行敏感度分析，并根據(jù)敏感度分析的結(jié)果對初步的樣品結(jié)構(gòu)以及部分參數(shù)（譬如樣品各層厚度）進行優(yōu)化調(diào)整。

絕大多數(shù)熱物性測量（包括TDTR、FDTR、SDTR、3OMEGA諧波法等）都是基于模型擬合的方式進行測量的。在擬合過程中，如果將有過多的參數(shù)設(shè)為待擬合參數(shù)，往往效果不佳甚至出現(xiàn)明顯錯誤的結(jié)果。所以在規(guī)劃實驗階段，首先就要先確定哪些參數(shù)為輸入?yún)?shù)（已知參數(shù)），哪些為待擬合參數(shù)（未知參數(shù)）。此時推薦進行敏感度分析對樣品結(jié)構(gòu)設(shè)計進行優(yōu)化，優(yōu)化的原則是：輸入?yún)?shù)敏感度越小越好，待擬合參數(shù)敏感度越大越好。輸入?yún)?shù)敏感度小會降低實驗結(jié)果對輸入?yún)?shù)誤差的依賴性，提高系統(tǒng)擬合結(jié)果的可靠性。待擬合參數(shù)敏感度越大則會增加待測參數(shù)擬合的精度。

2，在樣品制備完成之后，一般是通過更改調(diào)制頻率來調(diào)控各參數(shù)的敏感度的。調(diào)制頻率和熱場的穿透深度直接相關(guān)，熱穿透深度公式為：

從上式可以看出，對于任意樣品，都有調(diào)制頻率越高穿透深度越淺，調(diào)制頻率越低，穿透深度越深。不論是各光熱反射方法還是3Omega諧波測溫法都是通過樣品表面溫度的變化來計算相關(guān)模型輸出信號的。不同穿透深度會更多的攜帶其穿透深度內(nèi)的信息到達表面溫度場。所以控制不同的穿透深度對測量結(jié)果有著至關(guān)重要的作用。Thermo-Mind軟件敏感度分析功能可以針對不同的樣品結(jié)構(gòu)幫助客戶鎖定的調(diào)制頻率。

3，在實際TDTR測量中，很多時候會存在這樣的現(xiàn)象（以下以兩個參數(shù)擬合的過程為例），即在某個頻率下待測參數(shù)A的敏感度非常低，同時待測參數(shù)B的敏感度較高；在另外一個頻率下，待測參數(shù)A的敏感度較高，同時待測參數(shù)B的敏感度非常低。如果經(jīng)過敏感度分析發(fā)現(xiàn)樣品的確存在這種現(xiàn)象，則可以選擇先在第1個頻率處把B參數(shù)固定在某個數(shù)值上，僅對A參數(shù)進行擬合。第二步再在第二個頻率下，把第1步擬合出的參數(shù)A當成輸入?yún)?shù)，對參數(shù)B進行擬合。此后再將第二步得到的參數(shù)B帶入第1個頻率下的數(shù)據(jù)進行擬合，如此迭代可以極大的提高測量的準確性和可靠性。

值得一提的是，昊遠精測新版的Thermo-Mind-TDTR軟件增加了多頻擬合功能，客戶可以根據(jù)敏感度分析的結(jié)果對多個頻率進行整體擬合，從而方便快捷的得到可靠的測量結(jié)果。

如您有任何關(guān)于熱物性敏感度的問題，您可以和昊遠精測的工程師及專家進行溝通探討。

此外昊遠精測提供各種專業(yè)熱物性測試服務(wù)，服務(wù)之前我們都會對您的樣品進行詳盡的敏感度分析，和您共同制定優(yōu)化的測試方案，以期得到準確和可靠的結(jié)果。歡迎大家咨詢聯(lián)系